検証はchromeのみ
BASIC認証をかけたいディレクトリに.htaccessを配置

file name .htaccess

AuthUserFile /virtual/******/public_html/.htpasswd(適当な場所に配置)
AuthGroupFile /dev/null
AuthName "Input your ID and Password."
AuthType Basic
require valid-user
<IfModule mod_headers.c>
? <IfModule mod_rewrite.c>
? ? <Files logout.html>
? ? ? ?RewriteEngine on
? ? ? ?RewriteRule '' '' [R=401,L]
? ? </Files>
? </IfModule>
</IfModule>
?

ログアウト(logout.htmlはダミーのため実際には配置しない)
https://サイト名/BASIC認証をかけたいディレクトリ/logout.html